In [1]:
%cd ..
import Librairie.AL_Fct as al
%cd "Chapitre 5 - Applications lineaires"

import numpy as np
from IPython.display import display, Markdown, Latex
import plotly.graph_objs as go
import plotly
import ipywidgets as widgets
from ipywidgets import interact, interactive, fixed, interact_manual
from ipywidgets import Layout, HBox, VBox, Label
#import matplotlib
#import plotly.express as px

/Users/mac/Desktop/bosse/CEDE/jupyter-notebooks-for-linear-algebra

/Users/mac/Desktop/bosse/CEDE/jupyter-notebooks-for-linear-algebra/Chapitre 5 - Applications lineaires

Concept(s)-clé(s)¶

THÉORÈME DU RANG :¶

Soient $𝑉$,$𝑊$ deux ℝ-espaces vectoriels et $𝑇:𝑉 \rightarrow𝑊$ une application linéaire. Si 𝑉 est de dimension finie, alors $im(𝑇)$ est de dimension finie et $\mbox{dim} V=\mbox{dim} (\mbox{ker} (T)) + \mbox{dim}( \mbox{im} (T)).$

Conséquences :¶

  1. $dim(Im(T)) = dim(V) - dim(ket(T)) \rightarrow dim(Im(T)) \leq dim(V)$
  2. Si $T$ est injectie, $ker(T) = {0}$, $ dim(V) = dim(Im(T)) \leq dim(W)$
  3. Si $T$ est surjective, $W = im(T)$, $ dim(V) = dim(W) \leq dim(V)$

EXERCICE 1¶

Soit l'application $T:\mathbb{R}_2 \rightarrow \mathbb{P}_3(\mathbb{R}_2)$

$T(a,b) = a+ax+bx^2-(a+b)x^3$

1.1 $T$ peut-elle être surjective ?

In [2]:
def exercise_1_1():
 
    radio = widgets.RadioButtons(
        options=['Oui', 'Non'],
        description='Réponse:',
        disabled=False
    )

    button = widgets.Button(description='Vérifier')
    out = widgets.Output()

    def callback(e):
        out.clear_output()
        with out:
            if (radio.value == "Oui"):
                display(Markdown('Mauvaise réponse.'))
            else: 
                display(Markdown('Correct !'))
            display(Latex("L'une des conséquences du théorème du rang est la suivante: si $T:V \Rightarrow W$ est surjective, cela signifie que $W = im(T)$ et par le théorème du rang $dim(W) \leq dim(V)$, mais dans notre cas  $dim(W) > dim(V)$"))
                     
    button.on_click(callback)
    display(radio)
    display(button)
    display(out)
    
exercise_1_1()

<>:19: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\R'
<>:19: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\R'
/var/folders/mb/_rmmnpbs429cs4tdy6c94sp40000gn/T/ipykernel_10714/2125341368.py:19: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\R'
  display(Latex("L'une des conséquences du théorème du rang est la suivante: si $T:V \Rightarrow W$ est surjective, cela signifie que $W = im(T)$ et par le théorème du rang $dim(W) \leq dim(V)$, mais dans notre cas  $dim(W) > dim(V)$"))

1.2 $T$ Est elle injective ?

In [3]:
def exercise_1_2():
 
    radio = widgets.RadioButtons(
        options=['Oui', 'Non'],
        description='Réponse:',
        disabled=False
    )

    button = widgets.Button(description='Vérifier')
    solution_btn = widgets.Button(description='Solution', disabled = True)
    box = HBox([button, solution_btn])
    out = widgets.Output()

    def callback(e):
        out.clear_output()
        with out:
            if (radio.value == "Non"):
                display(Markdown('Mauvaise réponse.'))
            else: 
                display(Markdown('Correct !'))
            solution_btn.disabled = False

    def solution(b):
        with out:
            display(Markdown("En remarque que si $T(a,b) = 0$ alors $a=b=0$, ce qui signifie que $ker(T) = 0 $. Ainsi, T est injective"))
        
    button.on_click(callback)
    solution_btn.on_click(solution)
    display(radio)
    display(box)
    display(out)
    
exercise_1_2()

EXERCICE 2¶

Soit l'application $T:M_{2 \times 2}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}_3 $

$T\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c& d \end{pmatrix}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b \\c+d \\ c-d \end{pmatrix}$

1.1 $T$ peut-elle être injective ?

In [4]:
def exercise_2_1():
 
    radio = widgets.RadioButtons(
        options=['Oui', 'Non'],
        description='Réponse:',
        disabled=False
    )

    button = widgets.Button(description='Vérifier')
    out = widgets.Output()

    def callback(e):
        out.clear_output()
        with out:
            if (radio.value == "Oui"):
                display(Markdown('Mauvaise réponse.'))
            else: 
                display(Markdown('Correct !'))
            display(Markdown("L'une des conséquences du théorème du rang est la suivante: si $T:V \Rightarrow W$ est injective, cela signifie que $ker(T) = 0$ et donc, par le théorème du rang, $dim(V) = dim(im(T)) \leq dim(W)$, mais dans notre cas $dim(V) > dim(W)$"))
                     
    button.on_click(callback)
    display(radio)
    display(button)
    display(out)
    
exercise_2_1()

<>:19: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\R'
<>:19: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\R'
/var/folders/mb/_rmmnpbs429cs4tdy6c94sp40000gn/T/ipykernel_10714/3589252976.py:19: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\R'
  display(Markdown("L'une des conséquences du théorème du rang est la suivante: si $T:V \Rightarrow W$ est injective, cela signifie que $ker(T) = 0$ et donc, par le théorème du rang, $dim(V) = dim(im(T)) \leq dim(W)$, mais dans notre cas $dim(V) > dim(W)$"))

2.2 $T$ est-elle surjective ? Pour répondre a cette question, trouvez le noyau de T puis utilisez le théorème du rang

In [5]:
def exercise_2_2():
 
    radio = widgets.RadioButtons(
        options=['Oui', 'Non'],
        description='Réponse:',
        disabled=False
    )

    button = widgets.Button(description='Vérifier')
    solution_btn = widgets.Button(description='Solution', disabled = True)
    box = HBox([button, solution_btn])
    out = widgets.Output()

    def callback(e):
        out.clear_output()
        with out:
            if (radio.value == "Oui"):
                display(Markdown('Mauvaise réponse.'))
            else: 
                display(Markdown('Correct !'))
            solution_btn.disabled = False

    def solution(b):
        with out:
            display(Markdown("Le noyau de $T$ est définit par : $$ ker(T) = \\Bigg\{ \\begin{pmatrix}a & b \\\ c& d \\end{pmatrix} \\Bigg| \\begin{pmatrix} a+b \\\ c+d \\\ c-d  \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0  \\end{pmatrix} \\Bigg\}$$"))
            display(Markdown("Il correspond donc au système suivant: $\\begin{equation}\left\{\\begin{aligned} a+b = 0 \\\ c+d = 0 \\\ c-d = 0 \end{aligned}\\right.\end{equation}$ $\\rightarrow$ $\\begin{equation}\left\{\\begin{aligned} a = -b \\\ c = 0 \\\ d = 0 \end{aligned}\\right.\end{equation}$")) 
            display(Markdown("Ainsi, $$ ker(T) = \\Bigg\{ \\begin{pmatrix}a & -a \\\ 0 & 0 \\end{pmatrix} \\Bigg| \\quad  a \in \mathbb{R} \\Bigg\}$$"))
        
    button.on_click(callback)
    solution_btn.on_click(solution)
    display(radio)
    display(box)
    display(out)
    
exercise_2_2()

<>:25: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\{'
<>:26: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\l'
<>:27: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\{'
<>:25: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\{'
<>:26: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\l'
<>:27: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\{'
/var/folders/mb/_rmmnpbs429cs4tdy6c94sp40000gn/T/ipykernel_10714/3119811584.py:25: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\{'
  display(Markdown("Le noyau de $T$ est définit par : $$ ker(T) = \\Bigg\{ \\begin{pmatrix}a & b \\\ c& d \\end{pmatrix} \\Bigg| \\begin{pmatrix} a+b \\\ c+d \\\ c-d  \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0  \\end{pmatrix} \\Bigg\}$$"))
/var/folders/mb/_rmmnpbs429cs4tdy6c94sp40000gn/T/ipykernel_10714/3119811584.py:26: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\l'
  display(Markdown("Il correspond donc au système suivant: $\\begin{equation}\left\{\\begin{aligned} a+b = 0 \\\ c+d = 0 \\\ c-d = 0 \end{aligned}\\right.\end{equation}$ $\\rightarrow$ $\\begin{equation}\left\{\\begin{aligned} a = -b \\\ c = 0 \\\ d = 0 \end{aligned}\\right.\end{equation}$"))
/var/folders/mb/_rmmnpbs429cs4tdy6c94sp40000gn/T/ipykernel_10714/3119811584.py:27: SyntaxWarning: invalid escape sequence '\{'
  display(Markdown("Ainsi, $$ ker(T) = \\Bigg\{ \\begin{pmatrix}a & -a \\\ 0 & 0 \\end{pmatrix} \\Bigg| \\quad  a \in \mathbb{R} \\Bigg\}$$"))